Question

3．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m-2n）²+|n-2|=0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要证明△BOD≌△AOC，推出EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），推出OK平分∠BKC，再证明∠AKB=∠BOA=90°，即可解决问题；
（3）结论：BM=MN+ON．只要证明△BNH≌△BNO，以及MH=MB即可解决问题；

解答 解：（1）∵（m-2n）²+|n-2|=0，
又∵（m-2n）²≥0，|n-2|≥0，
∴n=2，m=4，
∴点D坐标为（4，2）．

（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．

∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD=∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OK平分∠BKC，
∴∠OBD=∠OAC，易证∠AKB=∠BOA=90°，
∴∠OKE=45°，
∴∠AKO=135°．

（3）结论：BM=MN+ON．
理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．

∵OQ=OP，OA=OA，∠AOQ=∠BOP=90°，
∴△AOQ≌△BOP，
∴∠OBP=∠OAQ，
∵∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠ABP=∠BAP，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°，
∴∠ANM=∠BNO=∠HNB，
∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN，
∴△BNH≌△BNO，
∴HN=NO，∠H=∠BON，
∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°，
∴∠HBM=∠BON=∠H，
∴MH=MB，
∴BM=MN+NH=MN+ON．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，综合性比较强，属于中考压轴题．