Question

如图，将一把直角三角板的直角顶点放置于原点O，两直角边与抛物线y=x²交于M、N两点，设M、N的横坐标分别为m、n（m＞0，n＜0）；请解答下列问题：
（1）当m=1时，n=______；当m=2时，n=______．试猜想m与n满足的关系，并证明你猜想的结论．
（2）连接M、N，若△OMN的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）当三角板绕点O旋转到某一位置时，恰好使得∠MNO=30°，此时过M作MA⊥x轴，垂足为A，求出△OMA的面积．
（4）当m=2时，抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当m=1时，点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（n，n²），
所以，=，
解得n=-1；
当m=2时，点M的坐标为（2，4），点N的坐标为（n，n²），
所以，=，
解得n=；
猜想：m与n满足的关系：m•n=-1．
证明：作NB⊥x轴，垂足为B，∵∠MON=90°，
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°，
∵∠AOM+∠AMO=90°，
∴∠BON=∠AMO，
又∵∠OAM=∠NBO=90°，
∴△OMA∽△NOB，
∵M（m，m²） N（n，n²），
∴=，
即=，
整理得：m•n=-1；

（2）S_△OMN=S_梯形ABNM-S_△BON-S_△AOM=--，
=，
=，
=，
=；

（3）∵∠MNO=30°，
∴cot∠MNO=cot30°=，
即=，
又∵△OMA∽△NOB（已证），
∴=，
将m•n=-1代入得m³=，
∴△OMA的面积=m•m²=m³=；

（4）当m=2时，∵点M在抛物线y=x²上，
∴点M的坐标为（2，4），
n=-=-，
∴点N的坐标为（-，），
所以，直线ON的解析式为y=-x，OM的解析式为y=2x，
设直线MN的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线MN的解析式为y=x+1，
①MP∥ON时，设直线MP的解析式为y=-x+e，
则-×2+e=4，
解得e=5，
所以，直线MP的解析式为y=-x+5，
联立，
解得（为点M），，
所以，点P的坐标为（-，）；
②OP∥MN时，OP的解析式为y=x，
联立，
解得（为点O），，
所以，点P的坐标为（，）；
③NP∥OM时，设直线NP解析式为y=2x+f，
则2×（-）+f=，
解得f=，
所以，直线NP的解析式为y=2x+，
联立，
解得（为点N），，
所以，点P的坐标为（，），
可以证明，以上三种情况底边都不相等，都是梯形，
综上所述，点P的坐标为（-，）或（，）或（，）时，M、N、O、P四点构成梯形．
分析：（1）根据点M、N的坐标的横坐标与纵坐标的长度对应成比例列式计算即可得解；过点N作NB⊥x轴，垂足为B，根据同角的余角相等求出∠BON=∠AMO，然后证明△OMA和△NOB相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到m、n的关系式，从而得到证明；
（2）根据△OMN的面积=梯形ABNM的面积-△BON的面积-△AOM的面积，列式整理即可得解；
（3）根据∠MNO的余切值求出，再根据△OMA和△NOB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出m、n的关系，然后把m•n=-1代入消掉n，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（4）先求出M、N的坐标，然后求出直线ON、MN、OM的解析式，然后分①MP∥ON时，根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；②OP∥MN时，根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标；③NP∥OM时，根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积求解，梯形的两底边平行的性质，待定系数法求一次函数解析，联立两函数解析式求交点坐标，（4）要分△OMN的三边分别是梯形的底边的情况进行讨论求解，比较复杂，计算时要认真仔细．