Question

某汽车制造公司计划生产A、B、C三种型号的汽车共80辆．并且公司在设计上要求，A、C两种型号之间按如图所示的函数关系生产．该公司投入资金不少于1212万元，但不超过1224万元，且所有资金全部用于生产这三种型号的汽车，三种型号的汽车生产成本和售价如下表：

	A	B	C
成本（万元/辆）	12	15	18
售价（万元/辆）	14	18	22

设A种型号的汽车生产x辆；
（1）设C种型号的汽车生产y辆，求出y与x的函数关系式；
（2）该公司对这三种型号汽车有哪几种生产方案？
（3）设该公司卖车获得的利润W万元，求公司如何生产获得利润最大？
（4）根据市场调查，每辆A、B型号汽车的售价不会改变，每辆C型号汽车在不亏本的情况下售价将会降价a万元（a＞0），且所生产的三种型号汽车可全部售出，该公司又将如何生产获得利润最大？（注：利润=售价-成本）

Answer 1

分析：（1）由y与x的函数图象可知，y是x的一次函数，所以设y=kx+b，将（25，39），（30，34）代入，运用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）设A种型号的汽车生产x辆，C种型号的汽车生产y辆，则B种型号的汽车生产（80-x-y）辆，根据该公司投入资金不少于1212万元，但不超过1224万元，可建立不等式组，解此不等式组，求出符合题意的x的值，进而得出与之对应的方案数；
（3）首先根据公司卖车获得的利润=公司卖A、B、C三种型号的汽车获得的利润之和得出W与x的函数关系式，再根据函数的性质及自变量的取值范围，即可求出函数的最大值；
（4）首先根据公司卖车获得的利润=公司卖A、B、C三种型号的汽车获得的利润之和得出W与x的函数关系式，再根据a的取值，分类讨论解答．

解答：解：（1）设y=kx+b，将（25，39），（30，34）代入，
得

25k+b=39 30k+b=34

，解得

k=-1 b=64

．
故y与x的函数关系式为y=-x+64；

（2）由题意知，B种型号的汽车生产（80-x-y）辆，由题意，有
1212≤12x+15（80-x-y）+18y≤1224，
∵y=-x+64，
∴1212≤12x+15（80-64）+18（-x+64）≤1224，
∴1212≤-6x+1392≤1224，
解得28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x可取28或29或30，
∴有三种生产方案：
方案一：A种型号的汽车生产28辆，B种型号的汽车生产16辆，C种型号的汽车生产36辆；
方案二：A种型号的汽车生产29辆，B种型号的汽车生产16辆，C种型号的汽车生产35辆；
方案三：A种型号的汽车生产30辆，B种型号的汽车生产16辆，C种型号的汽车生产34辆．

（3）设利润为w元，则
W=2x+3（80-x-y）+4y=2x+3（80-64）+4（-x+64）=-2x+304，
∵-2＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=28时，W最大，此时W=-2×28+304=248．
故按（2）中方案一进货利润最大；

（4）由题意知W=2x+3（80-x-y）+（4-a）y=2x+3（80-64）+（4-a）（-x+64）=（a-2）x+（304-64a），
∴当0＜a＜2时，x=28，W最大，即A种型号的汽车生产28辆，B种型号的汽车生产16辆，C种型号的汽车生产36辆；
当a=2时，a-2=0，三种生产方案获得的利润相等．
当2＜a≤4时，x=30，W最大，即A种型号的汽车生产30辆，B种型号的汽车生产16辆，C种型号的汽车生产34辆．

点评：此题考查了一次函数与不等式组的实际应用问题．难度较大，解题的关键是理解题意，能根据题意求得不等式组与函数解析式，然后根据其性质解题．