Question

7．已知抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1与x轴交于A、B两点，若m＞1，且点A在点B的左侧，OA：OB=1：3
（1）试确定抛物线的解析式；
（2）直线y=kx-3与抛物线交于M、N两点，若△AMN的内心在x轴上，求k的值．
（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，请你结合新图象回答：当直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点P（x₀，y₀）且y₀≤7时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（-a，0），B（3a，0），根据根与系数关系可得$\left\{\begin{array}{l}{-a+3a=-\frac{m-2}{m-1}}\\{-a•3a=\frac{-1}{m-1}}\end{array}\right.$解方程组即可解决问题．
（2）设M（m，km-3），N（n，kn-3），显然m、n是方程：$\frac{1}{3}$x²-（k+$\frac{2}{3}$）x+2=0的两根，得到m+n=3k+2，mn=6，再根据直线AM，直线AN两直线与x轴夹角相等，
即tan∠MAB=tan∠NAB，列出方程，整体代入即可求出k的值．
（3）直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点P（x₀，y₀）且y₀≤7，所以b₀≤7，又当直线y=$\frac{1}{3}$x+b经过点C（0，-1）时，b=-1，所以当-1＜b≤7时，直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+b}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$消去y得x²-3x-3-3b=0，当直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点时，方程只有相等的实数根，根据△=0，列出方程求出b，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵OA：OB=1：3，
∴可以假设A（-a，0），B（3a，0），
则有$\left\{\begin{array}{l}{-a+3a=-\frac{m-2}{m-1}}\\{-a•3a=\frac{-1}{m-1}}\end{array}\right.$消去a得到3m²-16m+16=0，解得m=$\frac{4}{3}$或4（不合题意舍弃，此时a＜0不合题意），
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1．

（2）设M（m，km-3），N（n，kn-3），
∵点M、N在抛物线上，则M（m，$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m-1），N（n，$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n-1），
∴km-3=$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m-1，kn-3=$\frac{1}{3}$n²-$\frac{2}{3}$n-1，
显然m、n是方程：$\frac{1}{3}$x²-（k+$\frac{2}{3}$）x+2=0的两根，
则m+n=3k+2，mn=6，
∵△CMN的内心在y轴上，A（-1，0），B（3，0），
∴直线AM，直线AN两直线与x轴夹角相等，
∴tan∠MAB=tan∠NAB
∴$\frac{km-3}{m+1}$=-$\frac{kn-3}{n+1}$，
整理得到，2kmn+K（m+n）-3（m+n）-6=0，
∴12k+k（3k+2）-3（3k+2）=0，
解得k=-3或$\frac{4}{3}$．
k=-3的时，此时A，M，N共线，构不成三角形，舍弃．
∴k=$\frac{4}{3}$．


（3）∵直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点P（x₀，y₀）且y₀≤7，
当y=7时，$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1=0，解得x=6或-4，
∴P（6，7）代入y=$\frac{1}{3}$x+b得到，b₀=5
∴b₀≤5，
当直线y=$\frac{1}{3}$x+b经过点C（0，-1）时，b=-1，
∴当-1＜b≤7时，直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+b}\\{y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$消去y得x²-3x-3-3b=0，
当直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点时，方程只有相等的实数根，△=0，
∴9+12+12b=0，
∴b=-$\frac{7}{4}$．
∴当b＜-$\frac{7}{4}$时，当直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点，
综上所述，当-1＜b≤5或b＜-$\frac{7}{4}$时直线y=$\frac{1}{3}$x+b与新图象只有一个公共点．

点评 本题考查三角形内心、二次函数、一次函数等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于中考压轴题．