Question

9．如图，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^{2}+\frac{11\sqrt{3}}{9}x+\sqrt{3}$与y轴交于点A，点B在一象限抛物线上，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$与x轴交于点C，与y轴交于点A，点D在x轴上，BD=6，∠ODB=120°，连接OB、CB
（1）求点A、C两点的坐标；
（2）设点E是一象限OB上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交OB于点F，过E在EF的右侧作∠FEG=∠BOD，交OB于点G，求△EFG的最大值；
（3）将直线AC沿x轴向右平移，平移过程中直线AC交直线BC于点H，交x轴于点K，在平移过程中，是否存在某一时刻，使△KDH为等腰三角形？若存在，求出平移后C的对应点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出A点坐标，再代入直线解析式求出b，令一次函数y=0求出C点坐标．
（2）延长EF交x轴于点M，证△EFG∽△OFM，进而把三角形EFG的周长用EF表示，所以问题转化为求EF长度的最大值，而EF长度是两点纵坐标之差，因此设出E点横坐标，E、F纵坐标用横坐标表示，两纵坐标相减得到EF关于横坐标的二次函数关系式，配方求出最值．
（3）分三种情依次计算即可．设DK=a，注意到∠ACO=30°，计算时利用这个特殊角表示出相关线段，利用相似比列出关于a的方程，解出a则可求出K的坐标，但HD=HK这种情况不存在，说明原因即可（大角对大边）．

解答 解：（1）当x=0时，y=$\sqrt{3}$，∴A（0，$\sqrt{3}$），
将A（0，$\sqrt{3}$）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b得，$b=\sqrt{3}$，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
当y=0时，x=3，∴C（3，0）；
（2）延长EF交x轴于点M，过点B作BQ⊥x轴于点Q，如图1，

∵∠ODB=120°，
∴∠BDK=60°，
∵BD=6，
∴BQ=3$\sqrt{3}$，DQ=3，
∴B点的纵坐标为3$\sqrt{3}$，
代入抛物线解析式可求得B点的横坐标为9，
∴B（9，3$\sqrt{3}$），
∴直线OB的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，且∠BOD=30°，
∵EF∥y轴，
∴EM⊥x轴，
∵∠FEG=∠BOD，
∴△EFG∽△OFM，
∴EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，FG=$\frac{1}{2}$EF，
∴${C}_{△EFG}=EF+EG+FG=\frac{3+\sqrt{3}}{2}EF$，
设E（m，-$\frac{\sqrt{3}}{9}{m}^{2}+\frac{11\sqrt{3}}{9}m+\sqrt{3}$），F（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}m$）
∴EF=y_E-y_F=-$\frac{\sqrt{3}}{9}{m}^{2}+\frac{11\sqrt{3}}{9}m+\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}m$=$-\frac{\sqrt{3}}{9}（m-4）^{2}+\frac{25\sqrt{3}}{9}$，
∴当m=4时，${C}_{△EFG最大}=\frac{25\sqrt{3}}{9}$×（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{25（1+\sqrt{3}）}{6}$．
（3）设DK=a，
∵AO=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴∠ACO=∠HKO=30°．
①当DH=DK=a时，如图2，作HN⊥CD于N，

∠DHK=∠DKH=30°，
∴∠HDN=60°，
∴ND=$\frac{1}{2}$a，HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，CN=3-$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{HN}{CN}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{3-\frac{a}{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，解得a=2，
∴K（8，0）；
②当KH=KD=a时，如图3，作HR⊥DK于R，

则HR=$\frac{1}{2}$a，KR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DR=a-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴$\frac{HR}{CR}=\frac{\frac{1}{2}a}{3+a-\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{3\sqrt{3}}{6}$，
解得a=$\frac{36+30\sqrt{3}}{13}$，
∴K（$\frac{114+30\sqrt{3}}{13}$，0）；
当点K在D左边时，设DK=KH=a，同法可得$\frac{2a}{3-a-\sqrt{3}a}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$，
解得a=$\frac{21\sqrt{3}-9}{46}$，K（$\frac{105\sqrt{3}-45}{46}$，0），
③∵∠HDK＞∠HKD，
∴HD=HK不存在．
综上所述，满足要求的K点坐标为：（8，0），（$\frac{114+30\sqrt{3}}{13}$，0）；

点评 本题以二次函数为大背景，综合考查了相似三角形的判定及性质，特殊角的三角函数、配方法求二次函数最值、平行线的性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点，难度较大，是一道很好的中考压轴题．