【题目】如图,菱形ABCD的边长为5 厘米,对角线BD长8厘米.点P从点A出发沿AB方向匀速运动,速度为1厘米秒;点Q从点D 出发沿DB 方向匀速运动,速度为2 厘米/秒:P、Q 同时出发,当点Q与点B重合时,P、Q停止运动,设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?(2)当t为何值时,△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的?
(3)连接AQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使∠PQA=∠ABD?若存在,请求出t值; 若不存在,请说明理虫:
(4)直线PQ 交线段BC于点M,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使BM:CM=2:3?若存在,请求出t值; 若不存在,请说明理由.
【答案】(1)t的值为0或3或;(2)t=1秒(3)t=或t=;(4)存在:t=.
【解析】试题分析:先由运动得出AP=t,DQ=2t,AB=5,BP=5-t,BQ=8-2t,(0≤t≤4)
(1)先由锐角三角函数得出sin∠ABD= ,cos∠ABD=,再分三种情况讨论计算即可得出结论;
(2)先求出菱形的面积,再用三角函数得出PE,再用三角形BPQ的面积与菱形面积的关系建立方程,解方程即可得出结论;
(3)先判断出△BPQ∽△DQA,得出比例式建立方程求解即可得出结论;
(4)先判断出△BMN∽△BCD,得出 ,即可求出MN=2,BN=,再判断出△BPQ∽△NMQ,得出比例式建立方程求解即可得出结论.
试题解析:
由运动知,AP=t,DQ=2t,
∵AB=5,BD=8,
∴BP=5﹣t,BQ=8﹣2t,(0≤t≤4)
(1)如图,
连接AC交BD于O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=BD=4,
在Rt△AOB中,AB=5,OB=4,
根据勾股定理得,OA=3,
sin∠ABD=,cos∠ABD=,
∵△BPQ是等腰三角形,
∴①如图1,BP=PQ
过点P作PE⊥OD于E,
∴BE=BQ=4﹣t,
在Rt△BPE中,cos∠ABD=,
∴t=0,
②如图2,BP=BQ,
∴5﹣t=8﹣2t,
∴t=3,
③如图3,BQ=PQ,
过点Q作QE⊥AB于E,
∴BE=BP=(5﹣t),
在Rt△BEQ中,cos∠ABD=,
∴t=,
即:△BPQ是等腰三角形时,t的值为0或3或;
(2)如图4,
由(1)知,AC=2OA=6,
∵BD=8,
∴S菱形ABCD=AC×BD=24,
过点P作PE⊥BD于E,在Rt△BPE中,sin∠ABD= ,
∴,
∴PE=(5﹣t),
∴S△BPQ=BQ×PE=×(8﹣2t)×(5﹣t)=(4﹣t)(5﹣t),
∵△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的,
∴(4﹣t)(5﹣t)=×24,
∴t=8(舍)或t=1秒,
(3)如图5,
∵∠ABD=∠AQP,
∴∠BPQ=∠AQP+∠BAQ=∠ABD+∠BAQ,
∵∠AQD=∠ABD+∠BAQ,
∴∠BPQ=∠DQA,
∵BD是菱形ABCD的对角线,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△BPQ∽△DQA,
∴,
∴,
∴t= 或t=;
(4)存在:理由:如图6,过点M作MN∥CD交BD于N,
∴MN∥BP,
∵BM:CM=2:3,且BC=5,
∴BM=2,
∵MN∥CD,
∴△BMN∽△BCD,
∴ ,
∴,
∴MN=2,BN=,
∵BQ=8﹣2t,
∴NQ=BN﹣BQ=﹣(8﹣2t)=2t﹣,
∵MN∥BP,
∴△BPQ∽△NMQ,
∴ ,
∴ ,
∴5t2﹣47t+100=0,
∴t= (舍去)或t=.
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【题目】某商场将进价为元的台灯以元售出,平均每月能售出个,调查表明:这种台灯的售价每上涨元,其销售量就减少个.
为了实现平均每月元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯个?
如果商场要想每月的销售利润最多,这种台灯的售价又将定为多少?这时应进台灯多个?
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【题目】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图,在中,若,,求边上的中线的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长到,使得,再连接(或将绕点逆时针旋转得到),把、、集中在中,利用三角形的三边关系可得,则.
[感悟]解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
解决问题:受到的启发,请你证明下列命题:如图,在中,是边上的中点,,交于点,交于点,连接.求证:,若,探索线段、、之间的等量关系,并加以证明.
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【题目】小明在学习了“等边三角形”后,激发了他的学习和探究的兴趣,就想考考他的朋友小崔,小明作了一个等边,如图1,并在边上任意取了一点(点不与点、点重合),过点作交于点,延长到,使得,连接交于点.
(1)若,求的长度;
(2)如图2,延长到,再延长到,使得,连接,,求证:.
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【题目】如图①,△ABC中,AB=AC,点M、N分别是AB、AC上的点,且AM=AN.连接MN、CM、BN,点D、E、F、G分别是BC、MN、BN、CM的中点,连接E、F、D、G.
(l)判断四边形EFDG的形状是 (不必证明);
(2)现将△AMN绕点A旋转一定的角度,其他条件不变(如图②),四边形EFDG的形状是否发生变化?证明你的结论;
(3)如图②,在(2)的情况下,请将△ABC在原有的条件下添加一个条件,使四边形EFDG是正方形.请写出你添加的条件,并在添加条件的基础上证明四边形EFDG是正方形.
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【题目】在四张背面完全相同的纸牌、、、,其中正面分别画有四个不同的几何图形(如图),小华将这张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸一张.
用树状图(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌可用、、、表示);
求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.
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【题目】如图1,直线y=﹣x+4与坐标轴分别相交于A、B两点,在第一象限内,以线段AB为边向外作正方形ABCD,过A、C点作直线AC.
(1)填空:点A的坐标是 ,正方形ABCD的边长等于 ;
(2)求直线AC的函数解析式;
(3)如图2,有一动点M从B出发,以1个单位长度/秒的速度向终点C运动,设运动的时间为t(秒),连接AM,当t为何值时,则AM平分∠BAC?请说明理由.
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【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为BC中点,CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延长线于F.
(1)求证:△ACD≌△CBF;
(2)求证:AB垂直平分DF.
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【题目】某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).由于地形限制,三级污水处理池的长、宽都不能超过米.如果池的外围墙建造单价为每米元,中间两条隔墙建造单价为每米元,池底建造单价为每平方米元.(池墙的厚度忽略不计)
当三级污水处理池的总造价为元时,求池长;
如果规定总造价越低就越合算,那么根据题目提供的信息,以元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算?请说明理由.
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