Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，E是抛物线上的点，并且满足△AEC的面积是△ADC面积的3倍，求点E的坐标；
（3）设点M是抛物线上，位于x轴的下方，且在对称轴左侧的一个动点，过M作x轴的平行线，交抛物线于另一点N，再作MQ⊥x轴于Q，NP⊥x轴于P．试求矩形MNPQ周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线经过A、B、C三点，用待定系数法即可求出未知数的值，从而求出二次函数的解析式．
（2）根据（1）中所求抛物线的解析式可求出顶点P的坐标，可求出△ACD的面积，代入三角形AEC的面积公式便可求出E点的纵作坐标，代入二次函数的关系式即可求出E点的坐标．
（3）设出M点的坐标，根据抛物线的对称性可求出N点坐标，用x表示出MN、MQ的值，根据矩形的面积公式可列出L与x的关系式，根据二次函数的最值即可求出L的最大值．

解答：解：（1）把A（-1，0），B（2，-3），C（3，0）三点分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，

a-b+c=0 4a+2b+c=-3 9a+3b+c=0

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
故此抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）D（1，-4），AC=4，S_△ACD=

1

2

×4×4=8  （4分）
设E点的纵坐标为y，则S_△AEC=

1

2

．AC．|y|=2|y|
由题意知S_△AEC=3S_△ADC
∴2|y|=24，|y|=12，y=±12（负值舍去）   5分
∴12=x²-2x-3即x₁=5，x₂=-3
∴E点的坐标是（-3，12）或（5，12）；6分

（3）设M（x，y）则N（2-x，y）（-1＜x＜1）
MN=2-2x，MQ=-y=-x²+2x+3   7分
四边形MNPQ的周长为
L=2（2-2x）+2（-x²+2x+3）=-2x²+10  8分
∴当x=0时，L有最大值10．  9分

点评：此题考查的是二次函数图象上点的坐标特点、列函数关系式以及最值的求法，是中学阶段的基本题目，但有一定的难度．