Question

如图，A，B分别为x轴和y轴正半轴上的点，OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根（OA＞OB），直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动．
（1）设△APB和△OPB的面积分别为S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直线BC的解析式；
（3）设PA-PO=m，P点的移动时间为t．
①当0＜t≤4时，试求出m的取值范围；
②当t＞4时，你认为m的取值范围如何？（只要求写出结论）

Answer 1

解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
则OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
设OC=a，则CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C点坐标为（3，0），
∴设BC的解析式为y=kx+b，得，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式为y=-2x+6；

（3）①∵，
∴，
当t=4时，设P点到达P₁点的位置（如图2），作P₁Q⊥x轴于Q，则，
∵P₁C=P₁B-BC=4×1-3=，
∴，
∴CQ=1，
∴OQ=4=OA，
∴P₁O=PA，
∴当t=4时，PA-PO=0，即m=0．
当0＜t≤4时，即P处于B，P₁之间时，
在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR，
∵，，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
综上所述，当0＜t≤4时，0≤m＜4；
②当t＞4时，m＜0．
分析：（1）先求出OA和OB的长度，P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，而两个三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）过C点作CD⊥AB交AB于点D．得出OD=OC，BD=OB，再设OC=a，则OD=a，AC=8-a，利用勾股定理求出a以及点C的坐标．设BC的解析式y=kx+b，把已知坐标代入得出y=-2x+6；
（3）首先勾股定理求出BC．当t=4时，作P₁Q⊥x轴于Q，利用线段比求得CQ=1，OQ=OA，P₁O=PA．当0＜t≤4时，即P处于B，P₁之间时，在BA上截取BE=BO，连接PE，则△OPB≌△EPB．然后求得PA-PO＜4．作PR⊥OA于R，则R处于线段OQ上，此时OR＜AR．利用勾股定理求出PA，PO的值，可得m＞0，综合所述可求出0≤m＜4②当t＞4时，m＜0．
点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及利用待定系数法求出函数关系式，难度较大．