Question

如图，△ABC为等边三角形，BD=DE，∠BDE=120°，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG．下列结论：
①CG=DE；②若DE∥BC，则△ABH∽△GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则

AD

BD

=

19

2

．
其中正确的有（　　）

• A、①②③都正确
• B、只有①②正确
• C、只有②③正确
• D、只有①③正确

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：①通过全等三角形的判定定理SAS证得△CFG≌△EFD，然后根据“全等三角形的对应边相等”推知CG=DE；
②由全等三角形△ABD≌△ACG（SAS）、等边△ABC的性质证得△ADG是等边三角形；然后由平行线DE∥BC、等边三角形的性质证得△ABH∽△GBD；
③如图2，作辅助线DQ构建矩形CEDQ．在Rt△BDQ中，由特殊角的三角函数值求得BD=

2 3

3

x，在Rt△GQD中，由勾股定理求得GD=

57

3

x，然后由等边△ADG三边相等的性质将求

AD

BD

的值转化为求

GD

BD

的值即可．

解答：解：①如图1，∵点F是EC的中点，
∴CF=EF．
在△CFG和△EFD中，
∵

CF=EF ∠CFG=∠EFD(对顶角相等) GF=DF

，
∴△CFG≌△EFD（SAS），
∴CG=DE．
故本选项正确；

②如图1，∵DE∥BC，∠BDE=120°，
∴∠GBD=60°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ABC+∠GBD=120°，∠ACG=180°-∠ACB=120°，
∴∠ABD=∠ACG．
又∵CG=DE，DB=DE，
∴BD=CG，
在△ABD与△ACG中，
∵

AB=AC ∠ABD=∠ACG BD=CG

，
∴△ABD≌△ACG（SAS），
∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，
∴∠DAG=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠ADG=60°，
∴∠BDG=∠BDH+∠ADG=∠BDH+60°，
又∵∠AHB=∠BDH+∠GBD=∠BDH+60°，
∴∠AHB=∠GDB（等量代换），
∴∠ABH=∠GBD，
∴△ABH∽△GBD；
故本选项正确；

③如图2，过点D作DQ⊥BC于点Q．
∵EC⊥BC，
∴DQ∥CE．
又DE∥BC，
∴四边形DECQ是矩形，
∴CQ=DE．
∵BD=DE，DE=CG，
∴CQ=CG．
设DQ=x，则在Rt△BDHQ中，由特殊角的三角函数值求得BD=

2 3

3

x．
在Rt△GQD中，由勾股定理求得GD=

57

3

x，
由②知△ADG是等边三角形，则AD=GD，
∴

AD

BD

=

GD

BD

=

57 3 x

2 3 3 x

=

19

2

即

AD

BD

=

19

2

；
故本选项正确；
综上所述，正确的结论是①②③．
故选A．

点评：本题考查了相似综合题．注意：相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形外角定理的综合运用．