分析 （1）利用正方形的性质和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根据△EBC≌△FDC，然后证出△ECG≌△FCG，即可得出结论；
（2）①当α=2β时，（1）中的三角形的全等关系即可证明是成立的；
②根据（1）的证明．可以得到：AM+CN=MN，据此即可证明△MNP的周长等于正方形边长的2倍，据此即可求解．
解答 解：（1）∵在△EBC和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠FDC=∠EBC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
∴GC=GC，ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，即GE=BE+GD．
（2）①α=2β．
如图，
延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，
则∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可证△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．
②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
证明：如图，
延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠NCO=90°}\end{array}\right.$．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠NOM=45°}\\{OM=OM}\end{array}\right.$．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
点评 此题考查四边形综合题，利用图形的旋转，正方形的性质，三角形全等的判定与性质解决问题，正确理解（1）中的证明以及结论是解题的关键．
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