Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连CP、AP，CP交AB于点O（如图①）．
（1）当AC=BC时，求证：△OPB∽△PAB；
（2）若BC=2，AC=b，当b为多长时，△ACB与△ABP相似？
（3）图①中，将点A沿直线AC向下运动（其余条件不变），则Rt△ABC、△PAB、△PBC都会变化，如图②所示，如果点A一直运动到BC下方，如图③所示，请在图（3）中按题意把图画完整，若BC=2，设AC=x，△BCP的面积为y₁，△PAB的面积为y₂，试问y₁、y₂是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）如图，连接CM、MP；
由题意知：△ACB是等腰直角三角形，则有：
CM⊥AB，即CM∥BP，且CM=MB=PB；
∴四边形CBPM是平行四边形，得MB=PB=2OB，
即：PB：OB=AB：PB=2，又∠OBP=∠PBA=90°，
∴△OBP∽△PBA．

（2）由于AB=2BP，若△ACB与△ABP相似，
则有：①AC=2BC，即b=4；
②BC=2AC，即2=2b，b=1；
所以当b=1或4时，△ACB与△ABP相似．

（3）如图，过P作PN⊥BC于N；
∵∠PBN=∠BAC=90°-∠ABC，∠PNB=∠ACB=90°，
∴△PNB∽△BCA，得：
AB：BP=BC：PN=2，即BC=2PN，得PN=1；
∴△PBC的面积：y₁=BC•PN=1，是定值；
在Rt△ABC中，AB²=AC²+BC²=4+x²，
∴△PAB的面积：y₂=AB•PB=AB²=（4+x²）=x²+1．
综上可知：y₁的值是定值且为1，y₂随x的变化而变化，且关系式为：y₂=x²+1．
分析：（1）欲证所求的三角形相似，就必须先证得PB=2OB；连接CM、PM；由于△ACB是等腰直角三角形，那么CM垂直平分AB，由此可证得四边形CMPB是平行四边形，得BM=2OB，即BP=2OB，那么BP：OB=AB：BP，即可证得所求的三角形相似．
（2）此题分两种情况讨论即可：①BC=2AC，②AC=2BC．
（3）首先根据题意画出图形，显然△PAB的面积是变化的，其面积为PB•AB=AB²，只需在Rt△ABC中用勾股定理表示出AB²即可得y₂、x的函数关系式；下面看y₁的变化情况：过P作PN⊥BC于N，易证得△PNB∽△BCA，得BC=2PN，即PN=1，因此△PCB的面积是不变的，即y₁是定值，且y₁=1．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、图形的旋转变换、勾股定理以及三角形的面积等知识，难度较大．