Question

3．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1）．
（1）求点C的坐标；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式．

Answer 1

分析 （1）作CN⊥x轴于点N，根据HL证明Rt△CAN≌Rt△AOB，求出NO的长度，进而求出点C的坐标；
（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，用c表示出C′和B′，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，进而求出c的值，即可求出反比例函数的解析式；利用待定系数法求出直线B′C′的解析式即可．

解答 解：（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）B（0，1）．
∴OB=1，AO=2，
在Rt△CAN和Rt△AOB，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CN=AO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CAN≌Rt△AOB（HL），
∴AN=BO=1，CN=AO=2，NO=NA+AO=3，
又∵点C在第二象限，
∴C（-3，2）；
故答案为（-3，2）；

（2）设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，
则C′（-3+c，2），则B′（c，1）
又点C′和B′在该比例函数图象上，
∴k=2（-3+c）=c，
即-6+2c=c，
解得c=6，即反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
∴C′（3，2），则B′（6，1）
设直线B′C′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，解答$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线B'C'的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+3．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．