Question

在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B=60°，∠ACB=90°，则∠AFC=

 

；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；
（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG=FH=FM，再求出∠EFH=∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：解：（1）①∵∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-60°=30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，∠FCA=

1

2

∠ACB=

1

2

×90°=45°，
∴∠AFC=180°-15°-45°=120°；
故答案为：120°．
②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠B），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-

1

2

（180°-∠B）=90°+

1

2

∠B，
∵∠B=60°，
∴∠AFC=90°+

1

2

×60°=120°；

（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，

∠EHF=∠DGF=90° ∠EFH=∠DFG FG=FH

，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．