如图.在平面直角坐标系中.四边形OABC为矩形.点A.B的坐标分别为.直线y=-$\frac{3}{2}$x+b与y轴交于点P.与边OA交于点D.与边BC交于点E．(1)若直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积.求b的值,的条件下.当直线y=-$\frac{3}{2}$x+b绕点P顺时针旋转时.与线段BC和x轴分别交于点N.M.问:是否存在ON平分∠CNM的情况?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y=-$\frac{3}{2}$x+b与y轴交于点P，与边OA交于点D，与边BC交于点E．
（1）若直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当直线y=-$\frac{3}{2}$x+b绕点P顺时针旋转时，与线段BC和x轴分别交于点N、M，问：是否存在ON平分∠CNM的情况？若存在，求线段DM的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据直线平分矩形的面积，可得直线经过对角线的中点，根据待定系数法，可得b值；
（2）根据角平分线的性质，可得∠1与∠2的关系，根据平行线的性质，可得∠1与∠3，根据等腰三角形的判定，可得OM与MN的关系，根据解方程，可得M点坐标；根据自变量与函数值的关系，可得D点坐标，根据线段的和差，可得答案．

解答解：（1）如图1：

直线y=-$\frac{3}{2}$x+b平分矩形OABC的面积，得
直线y=-$\frac{3}{2}$x+b经过OB的中点F（6，3），
将F点坐标代入函数解析式，得-$\frac{3}{2}$×6+b=3．
解得b=12；
（2）存在ON平分∠CNM，
如图2：
，
∵ON平分∠CNM，
∴∠1=∠2．
由OA∥BC，得∠1=∠3．
∴∠2=∠3，
∴OM=MN．
设旋转后的直线解析式为y=kx+12，
当y=0时，kx+12=0，解得x=-$\frac{12}{k}$，即M（-$\frac{12}{k}$，0）；
当y=6时，kx+12=6，解得x=-$\frac{6}{k}$，即N（-$\frac{6}{k}$，6）．
由OM=MN，得OM²=MN²，即（-$\frac{12}{k}$）²=（-$\frac{12}{k}$+$\frac{6}{k}$）²+6²，
解得k=-$\sqrt{3}$，k=$\sqrt{3}$（不符合题意，舍）
OM的长为M点的横坐标，-$\frac{12}{k}$=-$\frac{12}{-\sqrt{3}}$=4$\sqrt{3}$，即M（4$\sqrt{3}$，0）；
y=-$\frac{3}{2}$x+12与x轴的交点为D，
当y=0时，-$\frac{3}{2}$x+12=0，解得x=8，即D（8，0）；
MD=8-4$\sqrt{3}$．

点评本题考查了一次函数综合题，（1）利用直线平分矩形的面积得出直线经过矩形对角线的中点是解题关键；（2）利用等腰三角形的判定得出OM=MN是解题关键，又利用了自变量与函数值的对应关系．

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