分析 (1)利用x轴上点的坐标特征易得A(-4,0),由于AB=6,OA=4,则OB=2,从而可得B点坐标;
(2)①利用勾股定理计算出AE=5,作QH⊥AB于H,如图1,当t=2时,点P在AB上,易得AP=4,AQ=1,通过证明△AQH∽△AEO,利用相似比可计算出QH=$\frac{6}{5}$,然后利用三角形面积公式计算S;当t=4时,点P在BC上,BP=2,AQ=4,如图2,通过证明△AQH∽△AEO,利用相似比计算出QH=$\frac{12}{5}$,AH=$\frac{16}{5}$,然后利用S=S△AQH+S梯形QHBP进行计算;
(3)分类讨论:当0<t≤3时,如图1,作QH⊥AB于H,如图1,点P在AB上,则AP=2t,AQ=t,与(2)类似方法得到QH=$\frac{3t}{5}$,则利用三角形面积公式可得S=$\frac{3}{5}$t2;当3<t≤$\frac{9}{2}$时,点P在BC上,如图2,则AQ=t,BP=2t-6,类似得到QH=$\frac{3}{5}$t,AH=$\frac{4}{5}$t,则利用S=S△AQH+S梯形QHBP可得S=-$\frac{4}{5}$t2+$\frac{51}{5}$t-18;当$\frac{9}{2}$<t≤5时,点P在CE上,如图3,过点Q作QH⊥AB于H,交CD于M,则AQ=t,PC=2t-9,同理可得QH=$\frac{3}{5}$t,则QM=3-$\frac{3}{5}$t,则利用S=S梯形ABCE-S△QPE可得S=-$\frac{3}{5}$t2+$\frac{63}{10}$t-$\frac{9}{2}$.
解答 解:(1)当y=0时,$\frac{3}{4}$x+3=0,解得x=-4,则A(-4,0),
∵AB=6,OA=4,
∴OB=2,
∴B点坐标为(2,0);
(2)①在Rt△ADE中,OE=3,OA=4,
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=5,
作QH⊥AB于H,如图1,
当t=2时,点P在AB上,AP=2×2=4,AQ=2×1=1,
∵GH∥OE,
∴△AQH∽△AEO,
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$,即$\frac{QH}{3}$=$\frac{2}{5}$,解得QH=$\frac{6}{5}$,
∴S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{6}{5}$=$\frac{12}{5}$;
当t=4时,点P在BC上,BP=2,AQ=4,如图2,
∵QH∥OE,
∴△AQH∽△AEO,
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$=$\frac{AH}{AO}$,即$\frac{QH}{3}$=$\frac{4}{5}$=$\frac{AH}{4}$,解得QH=$\frac{12}{5}$,AH=$\frac{16}{5}$,
∴S=S△AQH+S梯形QHBP=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$+$\frac{1}{2}$×(2+$\frac{12}{5}$)×(6-$\frac{16}{5}$)=10;
(3)当0<t≤3时,作QH⊥AB于H,如图1,
点P在AB上,AP=2t,AQ=t,
∵GH∥OE,
∴△AQH∽△AEO,
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$,即$\frac{QH}{3}$=$\frac{t}{5}$,解得QH=$\frac{3t}{5}$,
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{5}$t2;
当3<t≤$\frac{9}{2}$时,点P在BC上,如图2,AQ=t,BP=2t-6,
∵GH∥OE,
∴△AQH∽△AEO,
∴$\frac{QH}{OE}$=$\frac{AQ}{AE}$=$\frac{AH}{AO}$,即$\frac{QH}{3}$=$\frac{t}{5}$=$\frac{AH}{4}$,解得QH=$\frac{3}{5}$t,AH=$\frac{4}{5}$t,
∴S=S△AQH+S梯形QHBP=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t+$\frac{1}{2}$×(2t-6+$\frac{3}{5}$t)×(6-$\frac{4}{5}$t)=-$\frac{4}{5}$t2+$\frac{51}{5}$t-18;
当$\frac{9}{2}$<t≤5时,点P在CE上,如图3,
过点Q作QH⊥AB于H,交CD于M,则AQ=t,PC=2t-3-6=2t-9,
同理可得QH=$\frac{3}{5}$t,则QM=3-$\frac{3}{5}$t,
∴S=S梯形ABCE-S△QPE=$\frac{1}{2}$(2+6)×3-$\frac{1}{2}$[2-(2t-9)]×(3-$\frac{3}{5}$t)=-$\frac{3}{5}$t2+$\frac{63}{10}$t-$\frac{9}{2}$.
点评 本题考查了一次函数综合题:熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质;学会构建相似三角形,利用相似比计算线段的长;记住三角形面积公式和梯形的面积公式;学会利用代数式法解决动点问题和分类讨论的思想的运用.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | a=3,b=4,c=5 | B. | a=5,b=12,c=13 | ||
C. | a=1,b=3,c=$\sqrt{10}$ | D. | a=$1\frac{3}{7}$,b=$1\frac{4}{7}$,c=$1\frac{5}{7}$ |
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