Question

如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水柱形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处到达距水面最大高度2.25m．

    （1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流不致落到池外？

    （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少？（精确到0.1m）

Answer 1

（1）如图所示，建立坐标，设一条抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C，

根据题意有A（0，1.25），B（1，2.25），设抛物线为y=a（x-1）²+2.25．

    将点A坐标代入，得a=-1，

    ∴y=-（x-1）²+2.25．

    令y=0，得x₁=-0.5（舍去）．

    x₂=2.5．

    ∴水池的半径至少要2.5m．

（2）由于抛物线形状与（1）相同可设此抛物线为y=-（x+m）²+k，

再将点A（0，1.25）及点（3.5，0）代入，解方程组可求得m=-，k=3≈3.7，

    所以，此时水流最大高度达3.7m．