Question

9．已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于点F，FG⊥AB于点G，求证：四边形CEGF是菱形．

Answer 1

分析 由角平分线的性质得出CF=GF，∠CAF=∠BAF，证出CD∥GF，由角的互余关系和对顶角相等得出∠CFE=∠AED=∠CEF，证出CE=CF，得出CE=GF，证出四边形CEGF是平行四边形，即可证出四边形CEGF是菱形．

解答 证明：∵AF平分∠BAC，∠ACB=90°，FG⊥AB于点G，
∴CF=GF，∠CAF=∠BAF，
∵CD⊥AB，
∴CD∥GF，
∵∠CFE+∠CAF=90°，∠AED+∠BAF=90°，
∴∠CFE=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∴CE=GF，
∴四边形CEGF是平行四边形，
又∵CE=CF，
∴四边形CEGF是菱形．

点评 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定；本题有一定难度，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．