Question

11．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（1，4）和（2，2）．
（1）求这个一次函数；
（2）画出这个函数的图象，并求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B；
（3）求出△AOB的面积；
（4）直线AB上是否存在一点C（C与B不重合），使△AOC的面积等于△AOB的面积？若存在，求出点C的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点（1，5）和（2，2）代入y=kx+b可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
（2）令y=0，可求得A点的坐标，令x=0，可求得B点的坐标，根据两点式画出函数图象；
（3）根据三角形面积公式求解；
（4）根据一次函数图象上点的坐标特征，设C（t，-2t+6），则利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|-2t+6|=9，然后解绝对值方程求出t的值即可得到C点坐标．

解答 解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点（1，4）和（2，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴这个一次函数的解析式为y=-2x+6．
（2）令y=0可得-2x+6=0，解得x=3，
∴A点坐标为（3，0），
令x=0可得y=6，
∴B点坐标为（0，6），
函数图象如图：

（3）△AOB的面积为：$\frac{1}{2}$×3×6=9；
（4）存在．
设C（t，-2t+6），
∵△AOC的面积等于△AOB的面积，
∴$\frac{1}{2}$•3•|-2t+6|=9，解得t₁=6，t₂=0（舍去），
∴C点坐标为（6，-6）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了三角形面积公式．