Question

5．如图，直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点且S_△PCQ=1，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的函数解析式，再令直线AB的函数解析式中y=2求出x值即可得出点P的坐标，结合点P的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的解析式；
（2）设点Q的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），根据S_△PCQ=1，即可得出关于m含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出m值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（-2，0）代入y=ax+1中，
得：0=-2a+1，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1．
令y=$\frac{1}{2}$x+1中y=2，则x=2，
∴P（2，2），
∵点P（2，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=2×2=4，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{4}{x}$（x＞0）．
（2）设点Q的坐标为（m，$\frac{4}{m}$），
∵S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•|x_P-x_Q|=$\frac{1}{2}$×2×|m-2|=1，
解得：m=1，或m=3，
∴点Q的坐标为（1，4）或（3，$\frac{4}{3}$）．
故若点Q为双曲线上点且S_△PCQ=1，点Q的坐标为（1，4）或（3，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）求出点P的坐标；（2）找出关于m含绝对值符号的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．