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4.抛物线y=ax2+bx-3交x轴于B、C两点,且B的坐标为(-2,0)直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A(4,3)
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)若点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,过P作PQ∥x轴,且PQ=4(点Q在P点右侧).以PQ为一边作矩形PQEF,且点E在直线AB上.求矩形PQEF的最大值.并求出此时点P的坐标;
(3)如图2,在(2)的结论下,连接AP、BP,设QE交于x轴于点D,现即将矩形PQEF沿射线DB以每秒1个单位长度的速度平移,当点D到达点B时停止,记平移时间为t,平移后的矩形PQEF为P′Q′E′F′,且Q′E′分别交直线AB、x轴于N、D′,设矩形P′Q′E′F′与△ABP的重叠部分面积为s,当NA=$\frac{\sqrt{5}}{8}$ND′时,求s的值.

分析 (1)用待定系数法求出抛物线和直线的解析式,
(2)先确定出要使周长最大,EQ最大即可,求出EQ函数关系式即可;
(3)①N在线段AE上时QJ=$\frac{18}{7}$,IP=$\frac{9}{2}$,再求出面积S=S梯形+S△IDA,②N在AB上时,MQ=2,NK=1在计算面积即可S=S梯形MQPI+S梯形PKNI

解答 解:∵B的坐标为(-2,0)直线y=mx+n过点B和抛物线上另一点A(4,3),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{4m+n=3}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=1}\end{array}\right.$,
∴直线解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1,
∵抛物线过点A,B,
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{16a+4b-3=3}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
∴y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{2}$x-3,
(2)由矩形的周长为2(PQ+EQ)=8+2EQ,要使周长最大,EQ最大即可,
设P(a,$\frac{1}{2}$a2-$\frac{1}{2}$a-3),
∴Q(a+4,$\frac{1}{2}$a2-$\frac{1}{2}$a-3),E(a+4,$\frac{1}{2}$a+3),
∴EQ=$\frac{1}{2}$a+3-($\frac{1}{2}$a2-$\frac{1}{2}$a-3)=-$\frac{1}{2}$(a-1)2+$\frac{13}{2}$,
∴当a=1时,EQ最大,P(1,-3),
(3)如图2,

①N在线段AE上时,有DD′=t,OD′=5-t,D′(5-t,0),N(5-t,-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$),
过点A作AH⊥ND′,
∴AH∥x轴,
∴NH=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$-3=-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$,
∴M(0,1)
∴OM=1,
∴BM=$\sqrt{5}$,
∴sin∠MBO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
∵AH∥x轴,
∴∠NAH=∠MBO,
∴sin∠MBO=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
∴$\frac{NH}{NA}=\frac{1}{\sqrt{5}}$,
∴NA=$\sqrt{5}$(-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$)
由NA=$\frac{\sqrt{5}}{8}$ND′
∴$\sqrt{5}$(-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$)=$\frac{\sqrt{5}}{8}$(-$\frac{1}{2}$t+$\frac{7}{2}$),
∴t=$\frac{1}{7}$,
∵BP的解析式为y=-x-2,
xJ=$\frac{6}{7}$,yJ=-$\frac{20}{7}$,
∴J($\frac{6}{7}$,-$\frac{20}{7}$),
∵M($\frac{6}{7}$,$\frac{10}{7}$),
∴MJ=$\frac{30}{7}$,
同理:IP=$\frac{9}{2}$,
∴S=S梯形+S△IPA=$\frac{103}{14}$,
②N在AB上时,同①的方法一样,S=$\frac{1}{2}$×(2+$\frac{9}{2}$)×$\frac{5}{3}$+$\frac{1}{2}$(1+$\frac{9}{2}$)×($\frac{10}{3}$-1)=$\frac{49}{6}$

点评 此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,三角形面积的计算,锐角三角函数,平面坐标系中线段的求法,解本题的关键是用平面坐标系中两点间的距离公式计算线段,难点是表示出点的坐标.

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