Question

20．阅读材料：
直线y=kx+b中，k的值叫做直线的斜率，若直线上有两点P（x₁，y₂），P（x₂，y₂），（其中x₁≠x₂，y₁≠y₂），则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
在同一平面直角坐标系中，直线l₁：y=k₁x+b₁，直线l₂：y=k₂x+b₂，则有l₁⊥l₂?k₁k₂=-1．
通过上述阅读材料，请解决下面的问题：
如图，已知在直角坐标系中，A（9，0），B（0，6），将∠BAO翻折，使顶点落在OB的中点C处，折痕交OA于D，交AB于E，求：
（1）填空题：直线AB的斜率为-$\frac{2}{3}$．
（2）折痕DE所在直线的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据阅读材料中求斜率的方法求出直线AB的斜率即可；
（2）连接AC，根据A与B的坐标，利用中点坐标公式求出E的坐标，由折叠的性质得到AD=CD，AC⊥DE，设CD=x，则有OD=9-x，在直角三角形COD中，利用勾股定理求出x的值，确定出D坐标，根据直线AC的斜率求出DE的斜率，设出直线DE解析式，把D坐标代入求出b的值，即可确定出直线DE解析式．

解答 解：（1）直线AB的斜率为k=$\frac{6-0}{0-9}$=-$\frac{2}{3}$；
故答案为：-$\frac{2}{3}$
（2）连结AC，
∵A（9，0），B（0，6），点C是OB的中点，
∴OA=9，OC=$\frac{1}{2}$OB=3，
由翻折可知：AD=CD，AC⊥DE，
设CD=x，则OD=OA-AD=9-x，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：OC²+OD²=CD²，
即9+（9-x）²=x²，解得：x=4，
则D（4，0），
直线AC的斜率为k₁=$\frac{3-0}{0-9}$=-$\frac{1}{3}$，
则直线DE的斜率为k=$\frac{-1}{{k}_{1}}$=3，
设直线DE的函数解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
则折痕DE所在直线的函数解析式为y=3x-12．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：直线的斜率，两直线垂直时斜率满足的关系，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，以及折叠的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．