Question

已知关于的方程.

1.求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；

2.若为整数，且抛物线与轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式

3.若直线与（2） 中的抛物线没有交点，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

 

1.分两种情况讨论.

①   当时，方程为　

∴　方程有实数根  -----------------------------1分

②当，则一元二次方程的根的判别式

＝

∴不论为何实数，成立，

∴方程恒有实数根  -----------------------------------------3分

综合①、②，可知取任何实数，方程恒有实数根

2.设为抛物线与轴交点的横坐标.

令， 则

由求根公式得， ， -------------------------------------5分

∴抛物线不论为任何不为0的实数时恒过定点-----------------------6分

∵

∴

∴ 或，----------------------------------------------------------8分

∴  或（舍去）

∴求抛物线解析式为， ----------------------------------------9分

3.由  ，得　

     ∴  --------------------------------------10分

∵直线与抛物线没有交点

∴

∴　 -------------------------------------11分

所以，当， 直线与（2）中的抛物线没有交点. --------------12分

【解析】（1）分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0求出方程的解x=2；②当m≠0，则得到一个一元二次方程，求出方程的根的判别式△=（m+1）²得出不论m为何实数，△≥0成立，即可得到答案；

（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．求出方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0的解x₁=2，x₂= ，根据题意得出|2-x₂|=2，求出x，x₂=0或x₂=4，进一步求出m即可；

（3）把方程组 ，转化成方程x²-3x-b=0，根据题意求出△=9+4b＜0，解不等式即可．