Question

通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理

∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据　　　　，易证△AFG≌　　　　，得EF=BE+DF。

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系　　　　时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）SAS；△AFE。

（2）∠B+∠D=180°。

（3）BD²+EC²=DE²。理由见解析

【解析】

试题分析：（1）在△AFG和△AEF中，，∴△AFG≌△AEF（SAS）。

（2）如图，把△ABE绕A点逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，连接FG，

同（1）△AEF≌△AGF（SAS）得EF=GF；

由旋转的性质，得BE=DG，∠B=∠ADG，

若EF=BE+DF，则GF=DG+DF。

∴点F、D、G共线。∴∠ADF＋∠ADG180°，即∠B+∠D=180°。

（3）根把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，根据旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理，可得到BD²+EC²=DE²。

BD²+EC²=DE²。推理过程如下：

∵AB=AC，

∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合（如图）。

∵△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，即∠ECG=90°。

∴EC²+CG²=EG²。

在△AEG与△AED中，

∵根据旋转的性质，∠CAG=∠BAD。

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°－∠EAD=45°=∠EAD。

又∵根据旋转的性质，AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED（SAS）。∴DE=EG。

又∵CG=BD，∴BD²+EC²=DE²。