Question

8．如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，∠BCA=∠CED=90°，点D在直线AB上，连接AE并延长与BC的延长线交于F，求证：EA=EF．

Answer 1

分析 先过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AC于N，构造相似三角形△ENC∽DMC，根据相似三角形的性质，得出CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM，再根据AC=$\sqrt{2}$CM=2CN，得出AE=CE，最后根据∠ECF=∠F得出CE=FE，即可得出EA=EF．

解答 证明：过点C作CM⊥AB于M，过E作EN⊥AC于N，则∠ENC=∠DMC=90°，∠ACM=45°
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，
∴∠ACM=45°=∠DCE，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴△ENC∽DMC，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{CD}{CE}=\sqrt{2}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM，
又∵AC=$\sqrt{2}$CM=2CN，
∴AN=CN，
又∵EN⊥AC，
∴AE=CE，
∴∠3=∠EAC，
又∵∠3+∠ECF=∠EAC+∠F=90°，
∴∠ECF=∠F，
∴EC=EF，
∴EA=EF．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．本题解法多样，也可以作辅助线构造全等三角形进行证明．