Question

设x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的两个实数根，则x₁²+x₂²的最小值为________．

Answer 1

2
分析：首先根据根的判别式求出a的取值范围，由根与系数的关系可得：x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，又知x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6，则二次项系数大于0，然后利用配方法即可求出最值．
解答：∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+ax+a+3=0的两个实数根，
∴△=a²-4（a+3）=a²-4a-12=（a+2）（a-6）≥0，
∴a+2≥0，a-6≥0或a+2≤0，a-6≤0，
∴a≥6或a≤-2，
由根与系数的关系可得：
x₁+x₂=-a，x₁•x₂=a+3，
又知x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=a²-2a-6=（a-1）²-7，
∴a=-2时，有最小值，
所以最小值为2．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及利用配方法确定式子的最值．