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23、如图,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边的中点,连接DE,
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形.
(3)在第(2)条件下探索OBED的形状.
分析:(1)连接OD、DB,根据圆周角定理求出∠ADB=90°,根据直角三角形性质求出DE=BE,推出∠1=∠2,∠3=∠4,即可求出答案;
(2)根据三角形的中位线求出OE∥AD,求出∠DOA=90°=∠EDO,得出DE∥AB即可;
(3)根据矩形和正方形的判定求出即可.
解答:解:(1)证明:连接OD、DB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠CDB=90°,
∵E为BC边上的中点,
∴CE=EB=DE,
∴∠1=∠2,
∵OB=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠4=∠2+∠3,
∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,
∴∠EDO=∠1+∠4=90°,
∵D为⊙O上的点,
∴DE是⊙O的切线.

(2)∠CAB=45°.
理由是:∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA=45°,
∴∠DOA=180°-45°-45°=90°=∠EDO,
∴DE∥AO,
∵E为BC中点,OA=OB,
∴EO∥AD,
∴四边形AOED是平行四边形,
即当∠A=45°时,四边形AOED是平行四边形.

(3)OBED的形状是正方形.
理由是:∵∠EDO=∠DOB=∠EBA=90°,OB=OD,
∴四边形OBED是正方形,
即OBED的形状是正方形.
点评:本题主要考查对平行线的判定,平行四边形的判定,矩形的判定,正方形的判定,等腰三角形的性质,切线的性质和判定,圆周角定理,直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
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(2)若AB=15,EF=10,求AE的长.

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(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE、AE,当∠CAB为何值时,四边形AODE是平行四边形,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,求sin∠CAE的值.

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