Question

10． 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC与AB相交于点E，且AD=AC，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=5，BC=16，求△FCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；
（2）首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．

解答 （1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．
∵AD=AC，
∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3，
∵DE=5，
∴AG=$\frac{15}{2}$，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴$\frac{{S}_{△FCD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AG=$\frac{1}{2}$×16×$\frac{15}{2}$=60，
∴S_△FCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=15．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．