Question

a、b为实数，关于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三个不相等的实数根：
（1）求证：a²-4b-8=0
（2）若该方程的三个不相等的实数根恰为一直角三角形的三边长，求此三角形的三边的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于关于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三个不相等的实数根，所以有三种情况：
①两个方程都有不相等的两个实数根，但两个方程有一个相同的根；
②第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根；
③第一个方程有两个相同的实数根，第二个方程有两个不相等的实数根；然后结合方程的形式讨论其中只有②成立，由此即可证明题目的结论；
（2）利用（1）知道第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根，然后利用根与系数的关系及已知条件即可求出结果．
解答：解：（1）∵关于x的方程x²+ax+b=2和x²+ax+b=-2共有三个不相等的实数根，
∴有三种情况：
①两个方程都有不相等的两个实数根，但两个方程有一个相同的根；
设相同的根是t，将t代入这组方程得到，
t²+at+b=2
t²+at+b=-2
这种情况不可能，所以排除；
②第一个方程有两个不同的实数根，第二个方程有两个相等的实数根；
此时x²+ax+b=-2可以变为x²+ax+b+2=0，
∴△=a²-4b-8=0；
③第一个方程有两个相同的实数根，第二个方程有两个不相等的实数根，
此时x²+ax+b=2可以变为x²+ax+b-2=0，
∴△=a²-4b+8=0，
设x₁=x₂=t，
∴x₁+x₂=-a，x₁x₂=b-2，
第二个方程中设x₃和x₄是方程的根，
∴x₃+x₄=-a，x₃x₄=b+2，
∵x₁x₂=b-2，
∴t=，
∴x₃+x₄=-a=2，x₃x₄=b+2，
由这组关系式用韦达定理可以将x₃，x₄看做方程
x²-2x+b+2=0的解，
然而x²-2x+b+2=（x-2）²+4，这个关系式大于0，
所以该方程无解，也就是第三种情况不存在；

（2）∵第二种情况存在，
设x₁、x₂是第一个方程的根，x₃、x₄是第二个方程的根
∴由韦达定理知x₁+x₂=-a，x₁x₂=b-2，x₃+x₄=-a，x₃x₄=b+2．
设x₃=x₄=t（t＞0）
那么t²=b+2，得t=，
∵a²-4b-8=0，
∴a²=4b+8，
∴a=-2，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=b-2，
解得x₁=+2，x₂=-2
∵x₁，x₂，t构成直角三角形三条边，
∴（+2）²=（-2）²+（）²
解得b=62，
∴x₁=+2=8+2=10，
x₂=-2=8-2=6，
t==8；
故直角三角形三条边长分别是6，8，10（从小到大）．
点评：此题比较难，综合考查了一元二次方程的根的定义，判别式，根与系数的关系等知识，同时也考查了分类讨论的数学思想，对于学生分析问题解决问题的能力要求比较高，所以平时要加强训练．