Question

【题目】在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段a，b，且长度为b的边所对的角为n°(0＜n＜90°)小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起(如图2)，其中AB＝a，BD＝BC＝b，发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究：

(1)当n＝45时(如图2)，小明测得∠ABC＝65°，请根据小明的测量结果，求∠ABD的大小；

(2)当n≠45时，将△ABD沿AB翻折，得到△ABD′(如图3)，小明和小亮发现∠D′BC的大小与角度n有关，请找出它们的关系，并说明理由；

(3)如图4，在(2)问的基础上，过点B作AD′的垂线，垂足为点E，延长AE到点F，使得EF＝(AD+AC)，连接BF，请判断△ABF的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)25°；(2)∠D'BC=180°﹣2n°，证明见解析；(3)等腰三角形，证明见解析.

【解析】

(1)先根据三角形的内角和得∠C＝70°，由等腰三角形的性质得∠BDC＝70°，从而得∠CBD的度数，可得结论；(2)设∠BDC＝∠C＝α，根据三角形的内角和与三角形外角的性质分别表示∠ABD和∠DBC，相加可得结论；(3)作垂线BT，根据角平分线的性质得：BE＝BT，证明Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)，得AE＝AT，证明BE是AF的垂直平分线，可得结论.

解：(1)如图2，△ABC中，∠A＝n°＝45°，∠ABC＝65°，

∴∠C＝180°﹣45°﹣65°＝70°，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠C＝70°，

∴∠DBC＝180°﹣2×70°＝40°，

∴∠ABD＝65°﹣40°＝25°；

(2)如图3，∠D'BC＝180°﹣2n°，理由是：

设∠BDC＝∠C＝α，

∴∠DBC＝180°﹣2α，

△ADB中，∠BDC＝∠DAB+∠ABD，

即α＝n°+∠ABD，

∴∠ABD＝α﹣n°，

由翻折得：∠ABD'＝∠ABD＝α﹣n°，

∴∠D'BC＝∠D'BD+∠DBC＝2∠ABD+∠DBC＝2(α﹣n°)+(180°﹣2α)＝180°﹣2n°；

(3)△ABF是等腰三角形，且BF＝AB，理由是：

如图4，过B作BT⊥AC于T，

由折叠得：∠D'BC＝∠DAB，

∵BE⊥AF，

∴BE＝BT，

在Rt△ABE和Rt△ABT中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)，

∴AE＝AT，

∵AD＝AD'，

∴DT＝D'E＝TC，

∴＝AT，

∵EF＝，

∴AT＝EF＝AE，

∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分线，

∴BF＝AB，

∴△ABF是等腰三角形.