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(2004•连云港)如图,直线y=kx+4与函数y=(x>0,m>0)的图象交于A、B两点,且与x、y轴分别交于C、D两点.
(1)若△COD的面积是△AOB的面积的倍,求k与m之间的函数关系式;
(2)在(1)的条件下,是否存在k和m,使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)?若存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据直线的解析式求得点C,D的坐标,从而表示出△COD的面积;根据两个函数的解析式联立解方程组求得点A,B的坐标,从而根据△AOD的面积减去△BOD的面积表示出△AOB的面积,再根据两个三角形之间的面积关系表示出k与m之间的函数关系式;
(2)假设存在,根据直径所对的圆周角是直角,得到AP⊥BP,从而得到Rt△MAP∽Rt△NPB.再根据相似三角形的对应边的比相等,得到关于k,m的关系式,结合(1)中的结论进行求解.
解答:解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1<x2,y1>y2),
∵S△COD=S△AOB
∴S△COD=(S△AOD-S△BOD
•OC•OD=•OD•y1-•OD•y2),OC=(y1-y2),(2分)
又OC=4,
∴(y1-y22=8,即(y1+y22-4y1y2=8,(3分)
可得,代入y=kx+4可得:y2-4y-km=0①
∴y1+y2=4,y1•y2=-km,
∴16+4km=8,即
又方程①的判别式△=16+4km=8>0,
∴所求的函数关系式为(m>0);(5分)

(2)假设存在k,m,使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)
则AP⊥BP,过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M、N
∵∠MAP与∠BPN都与∠APM互余,
∴∠MAP=∠BPN(6分)
∴Rt△MAP∽Rt△NPB,


∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,

即m2-2m(y1+y2)+4y1y2+(y1y22=0②(8分)
由(1)知:y1+y2=4,y1•y2=2,代入②得:m2-8m+12=0,
∴m=2或6,又

∴存在k,m,使得以AB为直径的圆经过点P(2,0),且.(10分)
点评:能够根据直线的解析式求得与坐标轴的交点的坐标;能够把不规则三角形的面积进行转换.
练习册系列答案
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