将抛物线c₁：y=沿x轴翻折，得抛物线c₂，如图所示.

（1）请直接写出抛物线c₂的表达式.

（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）.

（2）①令，得：，

则抛物线c₁与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.

同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.

当时，如图①，

，∴.

当时，如图②，，

∴. ∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在.

方法一

理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.

即M，N关于原点O对称， ∴.

∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，

∴四边形ANEM为平行四边形.

要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,

即， ∴.

∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

方法二

理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.

即M，N关于原点O对称， ∴.

∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，

∴四边形ANEM为平行四边形.

∵，

，

若，则，∴.

此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.

∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形.

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①用含m的代数式表示点A和点E的坐标；
②在平移过程中，是否存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

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（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E.

①用含m的代数式表示点A和点E的坐标；

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