Question

【题目】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长x与等边△ABC的周长y的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是　 　； 此时=　 ；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）BM+NC=MN；；（2）成立：BM+NC=MN；（3）BM+MN=NC.证明见解析.

【解析】

（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时；
（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．

解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．
此时.

理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
∵DM=DN，BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，
∴DM=2BM，DN=2CN，
∴MN=2BM=2CN=BM+CN；
∴AM=AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB=AM+BM，
∴AM：AB=2：3，

∴；

（2）猜想：结论仍然成立．
证明：在NC的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．
∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，

∴；

（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，
可证∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N，
∴NC-BM=MN．