Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为_____．

Answer 1

【答案】3﹣1　．

【解析】

如图，取AB的中点G，连接FG，根据已知条件易证△AFG∽△EAD，根据相似三角形的性质求得FG=1；即可得点F在以点G为圆心，半径为1的圆上，所以当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小，由此即可求得点F与点C的最小距离.

如图，取AB的中点G，连接FG，

∵AB=4，AD=6，

∴AG=2，；

在Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，

∴,

∴,

∵∠EAF＝∠BAD＝90°，

∴∠FAG＝∠EAD，

∴△AFG∽△EAD，

∴,

∵DE=3,

∴FG=1；

∵点E为⊙D上一动点，

∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上，

∴当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小，

在Rt△GBC中，BC=6，GB=3，由勾股定理求得GC=3，

∴FC=3﹣1．

即点F与点C的最小距离为3﹣1．

故答案为：3﹣1．