Question

18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，点M为AB上一点，连结CM，DM．
（1）求证：∠CMD=∠BCM+∠ADM；
（2）若AD=8，AM=6，CD=CM=5$\sqrt{2}$，求四边形AMCD的面积；
（3）在（2）的情况下，连结AC，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）过点M作MN∥AD（如图），根据平行线的性质得到∠DMN=∠ADM，∠CMN=∠BCM，于是得到∠DMN+∠CMN=∠ADM+∠BCM，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到MD=$\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$，由于CD=CM=$5\sqrt{2}$，于是得到$C{D^2}+C{M^2}={（5\sqrt{2}）^2}+{（5\sqrt{2}）^2}=100=D{M^2}$，即可得到结论；
（3）连结AC，过点C作CE⊥AD于点E，根据平行线的性质得到∠B=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠DCE=∠MCB，推出△CDE≌△CMB，根据全等三角形的性质得到CE=CB，S_△CDE=S_△CMB，由S_{四边形ABCE}=S_△CBM+S_{四边形AMCE}，S_{四边形AMCD}=S_△CDE+S_{四边形AMCE}，得到S_{四边形ABCE}=S_{四边形AMCD}=49，通过Rt△ACE≌Rt△ACB，得到∠ACB=∠ACE=45°，S_△ACE=S_△ACB=$\frac{49}{2}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：过点M作MN∥AD（如图），
∴∠DMN=∠ADM，
∵AD∥BC，
∴MN∥BC，
∴∠CMN=∠BCM，
∴∠DMN+∠CMN=∠ADM+∠BCM，
即∠CMD=∠BCM+∠ADM；

（2）解：∵AD=8，AM=6，∠BAD=90°，
∴MD=$\sqrt{{6^2}+{8^2}}=10$，
∵CD=CM=$5\sqrt{2}$，
∴$C{D^2}+C{M^2}={（5\sqrt{2}）^2}+{（5\sqrt{2}）^2}=100=D{M^2}$，
∴△CDM为直角三角形，且∠DCM=90°，
∴S_{四边形AMCD}=S_△CDM+S_△ADM=$\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×{（5\sqrt{2}）^2}=49$；

（3）解：连结AC，过点C作CE⊥AD于点E，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=∠BCE=90°，
∴∠B=∠CED，
∵∠DCM=90°，∠BCE=90°，
即∠DCE+∠ECM=90°∠BCM+∠ECM=90°，
∴∠DCE=∠MCB，
在△CDE与△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠B=90°}\\{∠DCE=∠BCM}\\{CD=CM}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CMB，
∴CE=CB，S_△CDE=S_△CMB，
∵S_{四边形ABCE}=S_△CBM+S_{四边形AMCE}，S_{四边形AMCD}=S_△CDE+S_{四边形AMCE}，
∴S_{四边形ABCE}=S_{四边形AMCD}=49，
在Rt△ACE与Rt△ACB中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CB}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACB，
∴∠ACB=∠ACE=45°，S_△ACE=S_△ACB=$\frac{49}{2}$，
∵∠B=90°，∴∠ACB=∠CAB=45°，
∴AB=BC，
∵S_△ACB=$\frac{49}{2}$，∴$\frac{1}{2}×A{B^2}=\frac{49}{2}$，
∴AB=7，
∴AC=$\sqrt{{7^2}+{7^2}}=7\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．