Question

（11·台州）(14分)已知抛物线y＝a(x－m)²＋n与y轴交于点A，它的顶点为
点B，点A、B关于原点O的对称点分别为C、D．若A、B、C、D中任何三点都不在一直
线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线．
(1)如图1，求抛物线y＝(x－2)²＋1的伴随直线的解析式．
(2)如图2，若抛物线y＝a(x－m)²＋n(m＞0)的伴随直线是y＝x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式．
(3)如图3，若抛物线y＝a(x－m)²＋n的伴随直线是y＝－2x＋b(b＞0)，且伴随四边形ABCD是矩形．
①用含b的代数式表示m、n的值；
②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标(用含b的代数式表示)，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知得B (2，1)，A (0，5)．                 ……………………1分
设所求直线的解析式为y＝kx＋b，     ……………………1分
，
∴所求直线的解析式为y＝－2x＋5   ……………………1分
（2）如图，作BE⊥AC于点E，由题意得四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为
(0，－3)，点C的坐标为 (0，3)                   ……………………1分
可得AC＝6                                    ……………………1分
∵□ABCD的面积为12，

∵m＞0，即顶点B有y轴的右侧，且在直线y＝x－3上，
∴顶点B的坐标为B (2，－1)                    ……………………1分
又抛物线经过点A (0，－3)

（3）①方法一：如图，作BE⊥x轴于点E
由已知得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，－b)．
∵顶点B (m，n)在直线y＝－2x＋b上，
∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)    ……………………1分
在矩形ABCD中，OC＝OB，
OC²＝OB²
即b²＝m²＋(－2m＋b) ²
∴5m²－4mb＝0
∴m (5m－4b)＝0

方法二：如图，作BE⊥x轴于点E
类似方法一可得：A的坐标为 (0，b)，C的坐标为 (0，－b)．
∵顶点B (m，n)在直线y＝－2x＋b上，[来源:学科网ZXXK]
∴n＝－2m＋b，即点B的坐标为(m，－2m＋b)    ……………………1分
∴AE＝b－(－2m＋b)＝2m
CE＝－2m＋b－(－b)＝2b－2m，BE＝m，
∵AB⊥BC于点B，
∴△ABC∽△AEB，
BE²＝AE·CE，即m²＝2m(2b－2m)，

（只写“存在”的给1分）

解析