Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是______；②写出求解过程．（结果用字母表示）

Answer 1

【答案】分析：要证明AE与⊙O相切，只要证明OC⊥AC就可以；由CD∥OA，根据平行线分线段成比例定理得到，得
解答：解：（1）AE与⊙O相切．（1分）
理由：连接OC，
∵CD∥OA，
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOC．
∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
∴△AOC≌△AOB（SAS）．
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB与⊙O相切，
∴∠ACO=∠ABO=90°．
∴OC⊥AE
∴AE与⊙O相切．（5分）

（2）①选择a、b、c，或其中2个．
②解答举例：
若选择a、b、c
方法一：由CD∥OA，，得．
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理（b+2r）²+c²=（a+c）²，
得．
方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．
若选择a、b
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a²+r²=（b+r）²，得；
方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得．
若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．