Question

如图，抛物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0，

3

2

）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=

2

2

y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与（2）中的函数图象交于点F、H．问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出y₁的函数解析式；
（2）过M作MN⊥x轴于N，根据抛物线y₁的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易证得△MPQ∽△MBP，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、y₂的关系式，联立两式即可求出y₂、x的函数关系式；
（3）根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于EF∥GH，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有EF=GH，可据此求出m、n的数量关系．

解答：解：（1）∵抛物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0，

3

2

）两点；
∴

a+2a+b=0 b= 3 2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2

．
∴抛物线的解析式为y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

；

（2）作MN⊥AB，垂足为N．
由y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2

2

，∠MBN=45°；
根据勾股定理有：BM²-BN²=PM²-PN²，
∴（2

2

）²-2²=PM²-（1-x）²…①；
又∠MPQ=45°=∠MBP，∠PMQ=∠BMP（公共角），
∴△MPQ∽△MBP，
∴PM²=MQ•MB=

2

2

y₂•2

2

=2y₂…②；
由①②得：y₂=

1

2

x²-x+

5

2

；
∵0≤x＜3，
∴y₂与x的函数关系式为y₂=

1

2

x²-x+

5

2

（0≤x＜3）；

（3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：m+n=2（0≤m≤2且m≠1）；
∵点E、G是抛物线y₁=-

1

2

x²+x+

3

2

分别与直线x=m，x=n的交点，
∴点E、G坐标为E（m，-

1

2

m²+m+

3

2

），G（n，-

1

2

n²+n+

3

2

）；
同理，点F、H坐标为F（m，

1

2

m²-m+

5

2

），H（n，

1

2

n²-n+

5

2

）．
∴EF=

1

2

m²-m+

5

2

-（-

1

2

m²+m+

3

2

）=m²-2m+1，GH=

1

2

n²-n+

5

2

-（-

1

2

n²+n+

3

2

）=n²-2n+1；
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，
∴m²-2m+1=n²-2n+1，
∴（m+n-2）（m-n）=0；
∵由题意知m≠n，
∴m+n=2（m≠1）；
因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．

点评：此题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，综合性强，难度较大．