分析 (1)如图1,作辅助线,构建△ACD≌△CBG,再证明BE=BG可得结论;
(2)如图2,证明△AEC∽△BEG,根据对应边的比:$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$,可得结论;
(3)如图3,作辅助线,构建全等三角形和等腰直角三角形,证明CP=BF,所以Rt△CDP≌Rt△BGF,得∠PCD=∠FBG,再证明△OCP≌△OBF,可以得△POF是等腰直角三角形,可得∠APO=90°-45°=45°.
解答 证明:(1)如图1,过B作BG⊥BC,交CE的延长线于G,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACP+∠PCD=90°,
∵AD⊥CE,
∴∠APC=90°,
∴∠ACP+∠CAD=90°,
∴∠PCD=∠CAD,
∵∠ACD=∠CBG=90°,
AC=BC,
∴△ACD≌△CBG(ASA),
∴CD=BG,
∵∠CBG=90°,∠ABC=45°,
∴∠EBG=45°,
∵∠BEG=∠AEC=90°-$\frac{45°}{2}$=67.5°,
∴∠G=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠G=∠BEG,
∴BE=BG,
∴CD=BE;
(2)如图2,过B作BG⊥BC,交CE的延长线于G,
同(1)得:△ACD≌△CBG,
∴CD=BG,
∵D是BC的中点,
∴CD=BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC,
∵BG∥AC,
∴△AEC∽△BEG,
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$,
∴AE=2BE,
(3)如图3,过B作BG⊥BC,交CE的延长线于G,过B作BF⊥CE于F,连接OC、OF,
易证明△ACD≌△CBG,
∴CD=BG,∠ADC=∠G,AD=CG,
∵S△ACD=S△CBG,
∴$\frac{1}{2}$AD•CP=$\frac{1}{2}$CG•BF,
∴CP=BF,
∴Rt△CDP≌Rt△BGF(HL),
∴∠PCD=∠FBG,
在Rt△ACB中,O是AB的中点,
∴CO=BO,
∵∠OCP=90°-∠ACO-∠PCD,
∠OBF=90°-∠ABC-∠FBG,
∵∠ACO=∠ABC=45°,
∴∠OCP=∠OBF,
∴△OCP≌△OBF,
∴OP=OF,∠COP=∠BOF,
∴∠POF=90°,
∴△POF是等腰直角三角形,
∴∠OPF=45°,
∵∠APE=90°,
∴∠APO=90°-45°=45°.
点评 本题是三角形的综合题,考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质和判定,本题能证明△ACD≌△CBG是关键,第二问利用三角形相似得出AE和BE的关系,第三问根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,再构建一对三角形全等,使问题得以解决.
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A. | $\frac{8}{x}$-$\frac{8}{2x}$=$\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{8}{x}$$-\frac{8}{2x}$=20 | C. | $\frac{8}{2x}$-$\frac{8}{x}$=$\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{8}{2x}$$-\frac{8}{x}$=20 |
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A. | 3 | B. | 4 | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | 5 |
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A. | 4 | B. | -4 | C. | 8 | D. | -8 |
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