分析 设AD=DC=x,则AB=AC=2x,设BC=4y.作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,根据等腰三角形三线合一的性质得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y,由三角形中位线定理得出EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y.在直角△CDF与直角△BDF中,根据勾股定理求出DF2=CD2-FC2=x2-y2,BD2=DF2+BF2=x2-y2+(3y)2=x2+8y2.再分两种情况进行讨论:①如果BD等于腰长,根据BD=2x列出方程;②如果BD等于底边长,根据BD=4y列出方程.
解答 解:设AD=DC=x,则AB=AC=2x,设BC=4y.
作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,
∵AB=AC,
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2y,
∵AD=DC,DF∥AE,
∴EF=FC=$\frac{1}{2}$EC=y.
在直角△CDF中,∵∠CFD=90°,
∴DF2=CD2-FC2=x2-y2,
在直角△BDF中,∵∠BFD=90°,
∴BD2=DF2+BF2=x2-y2+(3y)2=x2+8y2.
分两种情况:
①如果BD等于腰,即BD=2x,
则x2+8y2=4x2,
解得x2=$\frac{8}{3}$y2,
DF2=x2-y2=$\frac{5}{3}$y2,
在直角△CDF中,tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{3}y}{y}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$;
②BD等于底边,即BD=4y,
则x2+8y2=16y2,
解得x2=8y2,
DF2=x2-y2=7y2,
在直角△CDF中,tanC=$\frac{DF}{FC}$=$\frac{\sqrt{7}y}{y}$=$\sqrt{7}$.
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$\sqrt{7}$.
点评 本题考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义,有一定难度.准确作出辅助线构造直角三角形,利用分类讨论、数形结合是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | A(3,3) | B. | (-2,-3) | C. | (-3,-3) | D. | (-2,-2) |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 图形平移是由移动的方向和距离所决定的 | |
B. | 图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的 | |
C. | 任意两点都成中心对称 | |
D. | 任意两条相等的线段都成中心对称 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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