Question

已知Rt△ABC的斜边AB=5cm，直角边AC=3cm，以C为圆心，半径分别为2cm、3cm的两个圆⊙C₁和⊙C₂与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：

分析：（1）过点C作CD垂直于AB，利用面积法可以求得CD的长度，然后用半径和CD的长比较后即可得到结论；
（2）根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．

解答：解：（1）如图1，过C作CD⊥A，于点D．
Rt△ABC的斜边AB=5cm，AC=3cm，
根据勾股定理得：BC=

52-32

=4（cm），
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12

5

cm．
∵2＜

12

5

＜3
∴以点C为圆心，分别以2cm和3cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别相离和相交；

（2）由（1）知，CD=

12

5

cm．
则以点C为圆心，当半径为

12

5

cm时，AB与⊙C相切．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：勾股定理，三角形的面积求法，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．