如图.矩形纸片ABCD中.G.F分别为AD.BC的中点.将纸片折叠.使D点落在GF上.得到△HAE.再过H点折叠纸片.使B点落在直线AB上.折痕为PQ．连接AF.EF.已知HE=HF.下列结论:①△MEH为等边三角形,②AE⊥EF,③△PHE∽△HAE,④$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$.其中正确的结论是( )A．①②③B．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，将纸片折叠，使D点落在GF上，得到△HAE，再过H点折叠纸片，使B点落在直线AB上，折痕为PQ．连接AF、EF，已知HE=HF，下列结论：①△MEH为等边三角形；②AE⊥EF；③△PHE∽△HAE；④$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

分析根据折叠的性质即可得出∠AHG=30°，进而得到∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，据此可得△MEH为等边三角形；根据∠FEM=60°+30°=90°，即可得到AE⊥EF；根据∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，即可判定△PHE∽△HAE；设AD=2=AH，求得GF=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$=AB，即可得到$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

解答解：∵矩形纸片ABCD中，G、F分别为AD、BC的中点，
∴GF⊥AD，
由折叠可得，AH=AD=2AG，∠AHE=∠D=90°，
∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°，
∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH，
∴△EHM中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH，
∴△MEH为等边三角形，故①正确；
∵∠EHM=60°，HE=HF，
∴∠HEF=30°，
∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE⊥EF，故②正确；
∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA，∠EPH=∠EHA=90°，
∴△PHE∽△HAE，故③正确；
设AD=2=AH，则AG=1，
∴Rt△AGH中，GH=$\sqrt{3}$AG=$\sqrt{3}$，
Rt△AEH中，EH=$\frac{AH}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=HF，
∴GF=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$=AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{2}{\frac{5}{3}\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②③④，
故选：D．

点评本题主要考查了相似三角形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，等边三角形的判定以及矩形的性质的运用，解决问题的关键是掌握：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

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