Question

17．已知关于x的一元二次方程m²x²+2（3-m）x+1=0（m≠0）的两实数根为x₁，x₂，若m=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，求m的值．

Answer 1

分析 先根据判别式的意义确定m≤$\frac{3}{2}$且m≠0，再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{2（3-m）}{{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{{m}^{2}}$，则m=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2（3-m），解得m=6，然后利用m的取值范围可判断m的值不存在．

解答 解：根据题意得m²≠0且△=4（3-m）²-4m²≥0，解得m≤$\frac{3}{2}$且m≠0，
x₁+x₂=-$\frac{2（3-m）}{{m}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{{m}^{2}}$，
m=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2（3-m）=2m-6，
即2m-6=m，解得m=6，
而m≤$\frac{3}{2}$且m≠0，
所以m的值不存在．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．