Question

【题目】定义：如图，若菱形AECF与正方形ABCD两个顶点A，C重合，另外两个顶点E，F在正方形ABCD的内部，则称菱形AECF为正方形ABCD的内含菱形．

若正方形的周长为16，其内含菱形边长是整数，则内含菱形的周长为________；

若正方形的面积为18，其内含菱形的面积为6，则内含菱形的边长为________．

Answer 1

【答案】12

【解析】

连接AC，BD，AC、BD交于点O，如图，由正方形和菱形的性质可得E、F在BD上，且EF⊥AC，易求得OA的长，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OA2+OE2＝AE2，由可得，然后即可确定整数AE的长，进而可得菱形的周长；由正方形的面积是18可求出其边长，进而可求得AC的长，然后即可求出OE的长，进一步根据勾股定理即可求出菱形的边长．

解：连接AC，BD，AC、BD交于点O，如图，

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，

∵四边形AECF是菱形，∴E、F在BD上，且EF⊥AC，

∵正方形的周长为16，∴AB＝4，

∴2OA2＝AB2，即2OA2＝16，解得：OA＝2，

∴OE＜2，

在Rt△AOE中，∵OA2+OE2＝AE2，∴8+OE2＝AE2，

∵，∴，

∵AE是整数，∴AE＝3，则内含菱形的周长为12；

若正方形的面积为18，∴AB＝3，

∴OA＝3，

∵其内含菱形的面积为6，

∴EF＝2，∴OE=1，

则内含菱形的边长．

故答案为：12；．