Question

12．如图，已知CD是直角△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，∠DCB的平分线交AB于点G．求证：EG∥BC．

Answer 1

分析 连接FG，先证出CE=CF，再由ASA证明△CAQ≌△GAQ，得出CQ=GQ，证出四边形CEGF是平行四边形，得出对边平行即可．

解答 证明：连接GF，如图所示
∵∠ACB=90°，CD⊥AB．
∴∠B+∠BAC=90°，∠B+∠DCB=90°，∠CAB+∠ACD=90°．
∴∠CAD=∠DCB，∠ACD=∠B．
∵AF是∠CAB的平分线．
∴∠CAE=∠FAG．
∵∠CEF=∠ECA+∠CAE，∠CFE=∠B+∠FAD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∵CG是∠DCB的平分线，
∴CQ⊥AF，EQ=FQ，
∴∠CQA=∠GQA=90°，
在△CAQ和△GAQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAQ=∠GAQ}\\{AQ=AQ}\\{∠CQA=∠GQA}\end{array}\right.$，
∴△CAQ≌△GAQ（ASA），
∴CQ=GQ，
∴四边形CEGF是平行四边形
∴GE∥CF，
即GE∥BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；本题有一定难度，需要作辅助线证明三角形全等得出平行四边形才能得出结论．