Question

【题目】在菱形中，为直线上的点，为直线上的点，分别连接，，且．

（1）若，点在线段上，点在线段的延长线上，如图①，易证：（不需证明）；

（2）如图②，若∠B＝120°，点在线段上，点在线段的延长线上，如图③，猜想线段，和之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）②结论：；③结论：，证明见解析

【解析】

（1）连接AC，过P作PE∥CD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，∠B=60°，得出△ACD是等边三角形，∠PDQ=120°，由PE∥CD，得出△APE是等边三角形，∠PEC=120°，由AAS证得△PCE≌△PQD，得出PE=DQ，AP=DQ，即可得出结论；

（2）①结论：．如图②中，延长到，使得，连接．只要证明是等边三角形，即可解决问题；

②结论：．如图③中，在上截取，连接．只要证明是等边三角形，即可解决问题；

解：（1）证明：连接AC，过P作PE∥CD交AC于E，如图①所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，∠PDQ=120°，
∴AC=AD，∠DAC=∠ACD=60°，
∵PE∥CD，
∴∠AEP=∠ACD=60°，∠APE=∠ADC=60°，
∴△APE是等边三角形，∠PEC=120°，
∴AE=PE=AP，
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠Q，
∵∠ACD=∠ECP+∠PCQ，∠ADC=∠DPQ+∠Q，
∴∠ECP=∠DPQ，
在△PCE和△PQD中，

，

∴△PCE≌△PQD（AAS），
∴PE=DQ，
∴AP=DQ，
∴DQ+PD=AP+PD=AD=AB；

（2）②结论：．

理由：如图②中，延长到，使得，连接．

四边形是菱形，，

，都是等边三角形，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

；

③结论：．

理由：如图③中，在上截取，连接．

，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

，

．