Question

抛物线y=（x+m）（x-4）与x轴的一个交点为点A，与y轴的交点为点B，其中m＞0，且△OAB的面积为4，O为原点，求过A，B两点的一次函数的解析式．

Answer 1

分析：根据抛物线的解析式，可以确定抛物线与x轴的交点以及B点的坐标，进而根据△OAB的面积求出m的值，即可确定A、B的坐标，然后用待定系数法求出直线AB的解析式．（需要注意的是抛物线与x轴的两个交点都有可能是A点，需要分类讨论）

解答：解：令抛物线的y=0，则有（x+m）（x-4）=0，得x=-m，x=4；
∴抛物线与x轴的交点为（-m，0），（4，0）；
抛物线的解析式可化为：y=x²+（m-4）x-4m，则B（0，-4m）；
①当A点坐标为（-m，0）时，OA=m，OB=4m；
S_△OAB=

1

2

OA•OB=2m²=4，
解得m=

2

（负值舍去）；
∴A（-

2

，0），B（0，-4

2

）；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：

- 2 k+b=0 b=-4 2

，
解得

k=-4 b=-4 2

；
∴直线AB的解析式为y=-4x-4

2

；

②当A点坐标为（4，0）时，OA=4，OB=4m；
S_△OAB=

1

2

OA•OB=4m=4，
解得m=1；
∴A（4，0），B（0，-4）；
同①可求得直线AB的解析式为y=

1

2

x-2；
∴直线AB的解析式为y=-4x-4

2

或y=

1

2

x-2．

点评：此题主要考查了一次函数解析式的确定及三角形面积的求法，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度适中．