提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(l)当0≤x≤200时,求车流速度v关于x的解析式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时,车流量=车流密度×车流速度)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时).
【答案】
分析:(1)根据题意,函数v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数v(x)在20≤x≤200时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得;
(2)先在0≤x≤20上,车流量函数为增函数,得最大值为v(20)=1200,然后在20≤x≤200上,车流量函数为二次函数,然后根据二次函数的最大值问题解答.
解答:解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v=60,
当20<x≤200时,设v=kx+b,
根据题意得,
,
解得
,
所以,函数解析式为v=-
x+
,
故车流速度v关于x的解析式为v=
;
(2)依题并由(1)可得车流量v(x)=60x(0≤x<20),
v(x)=x(-
x+
)=-
(x-100)
2+
,(20≤x≤200),
当0≤x<20时,v(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200,
当20≤x≤200时,当x=100时,v(x)最大,最大值为=
≈3333,
综上所述,当x=100时,最大值约为3333.
答:(1)函数v关于x的解析式为v=
;
(2)x=100时,最大值约为3333.
点评:本题主要考查一次函数的应用、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力,属于中等题.