Question

如图，在梯形中ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于点E，AB=BE．
（1）试证明BC=DC；
（2）若∠C=45°，CD=2，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF⊥BC于F．得到四边形ABFD是矩形，推出AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°证△BEC≌△DFC即可；
（2）根据等腰三角形的性质推出DF=CF，根据勾股定理求出CF=

2

，即可得出答案．

解答：（1）证明：过点D作DF⊥BC于F．
得四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°，
在△DFC和△BEC中

∠DFC=∠BEC ∠C=∠C DF=BE

，
∴△BEC≌△DFC，
∴BC=DC．

（2）解：∵∠DFC=90°，∠C=45°，CD=2，
∴DF=CF，
由勾股定理得：CF²+DF²=CD²=4，
∴CF=

2

，
AD=BF=2-

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角梯形，勾股定理，垂线等知识点的应用，证两线段相等可以把两线段放在两三角形中，证两三角形全等．