Question

【题目】运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．

（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　 　；（直接写出结论不必证明）

（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3、l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）h1﹣h2=h；（3）点M的坐标为（，2）或（，4）．

【解析】试题分析：(1)、根据△ABC的面积的两种不同的计算方法得出三条线段之间的关系；(2)、根据第一题同样的方法得出答案；(3)、首先分别求出点A、点B和点C的坐标，然后求出AB的长度，得出△ABC为等腰三角形，然后分点M在BC边上和点M在CB的延长线上两种情况分别求出点M的坐标．

试题解析：解：(1)、∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2， 又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，

∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2， ∴h1+h2=h．

(2)、h1﹣h2=h．

(3)、在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，则：

A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）， AB==5，AC=5，

所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．

①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：

1+My=OB，My=3﹣1=2，把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=， ∴M（，2）；

②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2=h得：My﹣1=OB，My=3+1=4，

把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣， ∴M（﹣，4），

∴点M坐标为（，2）或（，4）．