Question

小明在证明“等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的平分线互相重合”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图）．
（1）请你帮助小明完成证明过程．
（2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．

是

（3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：
如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①

是

 ②

是

 并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据“HL”得到Rt△ADB≌Rt△ADC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD，即AD平分∠BAC；
（2）小明写出的“已知”、“求证”是完整的；
（3）若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换或将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的结论仍是真命题，利用三角形全等的判定与性质进行证明．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB和Rt△ADC中

AB=AC AD=AD

，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∴AD平分∠BAC；
（2）是；
（3）①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的仍是真命题；
②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的仍是真命题；
证明如下：在△ADB和△ADC中

AB=AC AD=AD BD=CD

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC．

点评：本题考查了命题：判断一件事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．也考查了三角形全等的判定与性质．